和田杯 2014 第2問

f( x+y) \geq xf(1+y)　(\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}) 

[和田杯 2014 第2問]

 

解： f( x) \equiv 0

P(x, y) で与式への代入を表す.

補題： x \lt 1 のとき f(x)=0

証明：

　P(0, x):　f(x) \geq 0　⋯ ①

　P(x,-1):　f(x-1) \geq xf(0)

　P(x,-x):　f(0) \geq xf(1-x)　⋯ ②

　以上より，x \geq 0 のとき

　　f(0) \geq xf(1-x) \geq x^{2}f(0)　\therefore f(0) \geq x^{2}f(0)

　x=\sqrt{2} とすると 0 \geq f(0) となり，①より f(0)=0

　よって，②より　0 \geq xf(1-x)　であるから，

　①も用いて　x \gt 0 のとき f(1-x)=0

　すなわち　 x \lt 1 のとき f(x)=0　\square

 

ここで x \lt k　(k\in \mathbb{N}) のとき f(x)=0 であると仮定する. ⋯③

x,y が 0 \lt x \lt k-y,　y \lt k をみたすとき，

x+y \lt k であるから，仮定より f(x+y)=0　となる.

このとき与式より　0 \geq xf(1+y)　\therefore 0 \geq f(1+y)　であり，

①より　 f(1+y)=0

すなわち　x \lt k+1 のとき f(x)=0 となる.

 

補題より，k=1 のとき③は成立するので，帰納的に　f( x) \equiv 0

これは与式をみたす.

 

 

＊和田杯は灘校数学研究部が文化祭で出題している問題とのこと。

＊そこまで難しいところはない。