[和田杯 2014 第2問] 解： で与式への代入を表す. 補題： のとき 証明： ⋯ ① ⋯ ② 以上より， のとき とすると となり，①より よって，②より であるから， ①も用いて のとき すなわち のとき ここで のとき であると仮定する. ⋯③ が をみたすとき， であるか…

[JMO代表選考合宿 2022 第2問] 解： ， で与式への代入を表す. [１] のとき とくに であるから， これは与式をみたす. [２] なる が存在するとき 補題１： は単射である. 証明： より であるから， は単射. 補題２： 証明： と仮定すると， よって単射性より…

[JMO 2016 第4問] 解： ， で与式への代入を表す. または [１] のとき これは与式をみたす. [２] のとき 補題１： 証明： なる について より 補題２： 証明： のとき， に注意して よって なる が存在し， であるから， 補題３： 証明： さて なる について…

[和田杯 2022 第6問] 解： ， で与式への代入を表す. 以下，文字は で考える. 補題１： において は単射である. 証明： とすると， と を比較して [１] なる が存在するとき 補題２： のとき， 証明： のとき， より であり， とすると補題１に 矛盾するので…

[和田杯 2022 第5問] 解： ， で与式への代入を表す. 補題１： または 証明： ⋯ ① ⋯ ② ①②より 以上より または [１] の場合 ⋯ ③ 補題２： 証明： なる をとると 補題３： 証明： 以上より であり，補題２より であるから 補題４： 証明： ⋯ ④ ④を用いて 補題…

[和田杯 2021 第8問] 解： 与式を とすると であり， とする. 補題： は定数関数である. 証明： が つ以上の異なる値をとると仮定し，そのうち つを とすると， と は正の整数であるから も正の整数である. よって は を用いて， と表される. このとき より…

[JMO代表選考合宿 2019 第4問] 解： で与式への代入を表す. とくに として これを用いて与式を変形して ⋯ ① ここで ， とする. 補題： ある に対し 証明： 帰納法で示す. のとき，定義より成立. のとき，①で として成立. のとき成り立つと仮定すると， ①で …

[EGMO予選 2024 第3問] 解： ，， で与式への代入を表す. より または [１] のとき これは与式をみたす. [２] のとき [２-１] なる が存在する場合 は全射より これは与式をみたす. [２-２] のとき の場合 なので これは与式をみたす. ＊簡単だが， の代入，…

[和田杯 2021 第2問] 解： で与式への代入を表す. ⋯ ① 与式の対称性より ⋯ ② ⋯ ③ ③で と を入れ替えて ⋯ ④ ②③④より として ⋯ ⑤ ⋯ ⑥ ⑤⑥より 以上より とおくと， のとき， ここで なる をとると， であり， は全射より これは与式をみたす. ＊和田杯は灘校数…

[JMO 2012 第2問] 解： で与式への代入を表す. のとき . これは でも成立し，与式をみたす. ＊この年だけ異様に簡単。不安になるレベル。

[JMO 2009 第5問] 解： で与式への代入を表す. [１] なる が存在する場合 に を代入して であるから， は周期 の周期関数である. ⋯ ① さて，ある について を示す. [i] のとき 上記より であるから [ii] のとき となる と がとれるので および ① より [i]，[…