解いた関数方程式の解答を書く

EGMO予選 2024 第3問

$f( f(x)+ xy) =f( x)f( x+y)　 (\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R})$

[EGMO予選 2024 第3問]

解： $f( x) \equiv 0$ ， $f( x) \equiv 1$ ， $f( x) \equiv x^{2}$

$P(x, y)$ で与式への代入を表す.

$P(0, 0) :$ 　 $f\left( f( 0\right)) =f( 0)^{2}$

$P(0, f(0)) :$ 　 $f(f(0)) =f( 0)f(f(0))$

　 $\therefore f(0)^{2}=f(0)^{3}$ より　 $f(0)=0$ または $1$

[１]　 $f(0)=1$ のとき

　 $P(0, 0) :$ 　 $f(1)=1$

　 $P(0, x) :$ 　 $f(x)=f(1)=1$

　　 $\therefore f( x) \equiv 1$ 　これは与式をみたす.

[２]　 $f(0)=0$ のとき

　[２-１]　 $f(a)=0$ なる $a\neq 0$ が存在する場合

　　 $P(a, x) :$ 　 $f(ax)=0$

　　 $ax$ は全射より $f( x) \equiv 0$ 　これは与式をみたす.

　[２-２]　 $x\neq 0$ のとき $f(x)\neq 0$ の場合

　　 $P(x, -x) :$ 　 $f(f(x)-x^{2})=0$

　　 $f( x) =0\Rightarrow x=0$ なので　 $f(x)-x^{2}=0$

　　 $\therefore f(x) \equiv x^{2}$ 　これは与式をみたす.

＊簡単だが， $f(0)$ の代入，場合分け，部分的な単射性の利用といった

　関数方程式の基本が詰まっており，良問と思う。