JMO代表選考合宿 2019 第4問

f(x^{2} f( y)^{2}) =f( x)^{2} f( y)　(\mathbb{Q}_{+} \rightarrow \mathbb{Q}_{+}) 

[JMO代表選考合宿 2019 第4問]

解： f( x) \equiv 1

P(x, y) で与式への代入を表す.

P(\frac{1}{f( 1)}, 1) :　f( 1) =f\left(\frac{1}{f( 1)}\right)^{2} f( 1)　\therefore  f\left(\frac{1}{f( 1)}\right) =1

P(x, \frac{1}{f( 1)}) :　f\left( x^{2}\right) =f( x)^{2}　とくに x=1 として f(1)=1

これを用いて与式を変形して　f( xf( y))^{2} =f( x)^{2} f( y)

P(1,x):　f( f( x))^{2} =f( x)　⋯ ①

 

ここで ，f^{n}( x) =\underbrace{f( f( \dotsc f(}_{n個} x) \dotsc )) とする.

補題： ある f( p) =q　( p, q\in \mathbb{Q}_{+}) に対し f^{n}( p) =q^{\frac{1}{2^{n-1}}}

証明： 帰納法で示す.　n=1 のとき，定義より成立.

　n=2 のとき，①で x=p として成立.

　n=k　(k \geq 2) のとき成り立つと仮定すると，

　①で x=f^{k-1}( p) として　f^{k+1}( p)^{2} = f^{k}( p) =q^{\frac{1}{2^{k-1}}}

　\therefore f^{k+1}( p) =q^{\frac{1}{2^{k}}} となり n=k+1 でも成立.　\square

 

ここで q\neq 1 と仮定すると，n を大きくしていくとき f^{n}( p) \notin \mathbb{Q}

となる n が現れるため矛盾する.

\therefore f( x) \equiv 1　これは与式をみたす.

 

＊要は1以外の正の有理数に \sqrt{　} をつけ続けると，いずれ無理数になる

　ということを用いた問題。